Я думаю что контактная группа рабочая так как при дальнейшем (втором) поворачивании "часы гаснут музыка выключается (как при коротком замыкании)", значит проблема в цепи замок зажигания - втягивающее реле (стартер) или недостаточный ток от АКБ, АКБ разряжена или окислилась масса (ослаб контакт), как писал Антон К.2015. Если кинуть напрямую на стартер напругу от АКБ и втягивающее сработает, то смотри сигналку и провода, если нет проблема в стартере.